黎曼提出“流形”（Manifold）概念，将空间推广到高维。 莫比乌斯带与克莱因瓶（1850s-1880s）：通过构造不可定向曲面，揭示拓扑空间的奇异性质。 庞加莱的代数拓扑（1895）：引入同调群和基本群，提出庞加莱猜想（2003年被佩雷尔曼证明），标志代数拓扑的诞生。